在群类理论中,关于超可解群一个重要的性质是:群G 是超可解的当且仅当G 的每个极大子群在G中指数都是素数[1]。应用σ-群理论给出了σ-超可解群的概念:称群G 是σ-超可解的[2],如果G 的包含于的主因子都是循环的(其中Nσ表示所有σ-幂零群构成的群类见文献[3])。因此很自然地,将上述超可解群的结论推广到σ-超可解群,给出σ-超可解群中极大子群指数的特征。
设σ={σi|i ∈I} 是所有素数集合P 的一个划分,符号∏表示σ 的任一非空子集。如果则称n是一个∏-数,记σ(n)={σi|σi ⋂π(n)≠φ} 。假 定G是一个群,通常记∑(G)= σ(| G|)。如果G=1 或|σ(G)=1|,则称G 是σ-本原的;如果G的每个主因子都是σ-本原的,则称G 是σ-可解群;如果对于G 的每个主因子H/K 满足H/K ⋊(G/CG(H/K))都是σ-本原的,则称G 是σ-幂零群。设H 是G 的子群,如果|H|是一个∏-数,则称H是G 的∏-子群;如果H 是G 的一个∏-子群且|G ∶H|是一个∏′-数,则称H 是G 的Hall∏-子群。设H 是群G 的子群集满足1 ∈H,如果对于某个σi ∈∏,H 中的每个元素都是G 的一个Hallσ-子群,并且对于每一个σi ∈∏⋂σ(G),H 包含且只包含G的一个Hallσ-子群,则称H 为G 的完备Hall∏-集。特别地,如果∏= σ,则称H 是G 的一个完备Hallσ-集。关于σ-群理论中相关的概念和符号可参见文献[3-5]。另外,用符号Nσ,U 和Uσ 来表示所有σ-幂零群,所有超可解群和所有σ-超可解群所构成的群类。
引理1 群类Gσ 和Nσ 都是子群闭的饱和群系,并且σ-可解群关于σ-可解群的扩张仍是σ-可解群[3]。
引理2 所有σ-超可解群构成的群类Uσ 是子群闭的群系[2]。
引理3 G是σ-超可解群当且仅当下面的条件成立:
(1)是幂零的;(2)G′是σ-幂零的;(3)
引理4 群G是σ-幂零群当且仅当G有完备Hallσ-集H={H1,H2,…,Ht} 满足。
引理5 设G是一个σ-超可解群,N是G的正规子群,那么
(1)G/N是σ-超可解群;
(2)如果对于某个σi ∈σ(G)我们有σi ⋂π(G)={ p},则G是p-超可解群[2]。
引理6 设A=,那么G 是p-超可解群,当且仅当
是方次数整除p-1的交换群,p是|A|的最大素因子且F(A)=Op(A)是A的正规Sylow子群。
定理 设H={H1,H2,…,Ht} 是G的完备Hallσ-集,并且每个Hi都是超可解的,那么G是σ-超可解群,当且仅当G的每个极大子群在G中指数都是素数。
证明首先证明定理充分性。假设定理不成立,并对G 用极小阶反例。按照以下步骤完成充分性的证明。
(1)G是σ-可解群。
设p 是|G|的最大素因子,P 是G 的Sylow p-子群。若P 不正规于G,那么存在G 的极大子群M 满足NG(P)≤M。由题意设|G ∶M|= q ≤p,其中q 是一个素数,那么G/MG同构于对称群sq的一个子群,所以q 是|G/MG|的最大素因子,但是q < p,这就迫使P ≤MG,那么由Frattini 论断知G= MGNG(P)≤M,这是不可能的,所以P正规于G。易见G/P满足定理的假设,因此由G 的选择知G/P 是σ-超可解群,所以由引理1知G是σ-可解群。
(2)G 有唯一极小正规子群N 满足G/N 是σ-超可解,N 是非循环的初等交换p-群并且Op′(G)=1,其中p ∈π(H1)。
设N 是G的极小正规子群。易见,={H1N/N,H2N/N,…,HtN/N,}是G/N 的Hallσ-集,其中每个HiN/N 是超可解的。所以由G 的选择知G/N 是σ-超可解的。从而由引理2 知N 是G 的唯一极小正规子群。若N 循环,则显然G 是σ-超可解的,这与假设矛盾。所以N 是非循环的。由(1)知,N 是σ-本原的,不妨设N ≤H1,因H1 是超可解群,所以N 是初等交 换p -群,其 中p 为|H1|的素因子。显然,Op′(G)=1。
(3)N ≤φ(G)。
假设φ(G)=1。那么由(2)知存在G 的极大子群M 满足假设G= NM。易见,N ⋂M 正规于G,所以N ⋂M=1,从而|N|=|G ∶M|为一素数,这与(2)矛盾,故φ(G)≠1。从而由(2)知N ≤φ(G)。
(4) G 有正规的Sylow p-子群P 满足Op(G)=F(G)= P。
由(2)(3)和引理3 知,Op(G)= F(G)且 是幂零的,所以由(2)知
≤F(G)≤H1。因
是σ-幂零的,故
是
的正规子群,从而知H1是G的正规子群。设P 是G 的Sylow p-子群,因H1 超可解,所以P正规于G,即Op(G)= F(G)= P。
(5)得出矛盾。
因为P 是G的正规的Sylowp-子群,所以可以设U和V分别是P在G和H1中的可补子群且满足V≤U。因为≤Op(G)≤P,所以U
G/P是σ-幂零群,从而由引理4知U=V×H2×H3×…×Ht。因H1是超可解的,所以V是方次数整除p-1的交换群。现考虑群PHi/N,其中i=2,3,…,t。由(2)知对于每一个i,PHi/N是σ-超可解群,所以由引理5知PHi/N是p-超可解群,因N≤φ(G),从而知PHi是p-超可解群。因为G/P是σ-幂零的,故由引理4知PHi/P正规于G/P,从而得PHi正规于G,因此
≤Op′(G)=1,那么由引理6知Hi是方次数整除p-1的交换群,由此得U是方次数整除p-1的交换群,那么再由引理6知G是超可解群,这与假设矛盾。从而定理的充分性得证。
必要性:若=1,那么G 是σ-幂零的,从而G= H1 × H2 × …× Ht,因为每个Hi都是超可解群,所以G 超可解。因此G 的每个极大子群在G 中指数都是素数。现假定
≠1,并设M 是G 的任一极大子群。如果MG ≠1,易见G/MG 满足定理1 的假设。对|G|进行归纳知|G ∶M|=|G/MG∶M/MG|是一个素数。考虑MG=1 的情况。设N 是的G 极小正规子群满足N ≤
。因为G 是σ-超可解的,所以|N|= p,其中p 为|G|的素因子。显然,G/N 满足定理的假设。若N ≤M,则|G ∶M|=|G/N ∶M/N|为一素数。若N ≰M,则G= NM,并因此有|G ∶M|=|N|= p。定理得证。
利用σ-群理论中Hall 子群和σ-超可解群的性质给出了σ-超可解群中极大子群指数的特征,这一特征与超可解群中极大子群的情形类似,这说明将超可解群推广到σ-超可解群后,其中一部分性质是保持不变的,这就为进一步探讨超可解群中的其他性质在σ-超可解群中是否不变提供了思路.另外,这一结论还对研究σ-超可解群中子群的置换性、嵌入性以及极大子群的相关性质有一定的意义,并对进一步探讨σ-可解群的结构提供了新的研究方法和途径。
[1]徐明耀,黄建华.有限群引导(下册)[M].北京:科学出版社,2001.
[2]GUO W B,ZHANG CH,SKIBA ALEXANDER N.On σ-supersoluble groups and one generalizaition of CLT-groups [J].J ALGEBRA,2018,512:92-108.
[3]SKIBA ALEXANDER N.On σ-subnormal and σ-permutable subgroups finite groups [J].J ALGEBRA,2015,436:1-16.
[4]SKIBA ALEXANDER N.On some results in the theory of finite partially soluble groups [J].COMM MATH STAT,2016,4(3):281-309.
[5]SKIBA ALEXANDER N.A generalizer of a Hall theorem [J].J Algebra and Its Application,2016,15(4):13.
A Property of Maximal Subgroups of σ-supersoluble Groups