关于σ-超可解群中极大子群的一个特性

马小箭,毛月梅

(山西大同大学量子信息研究所,山西大同 037009)

摘要:研究了σ-超可解群的极大子群的指数问题。利用σ-群理论和σ-超可解群的一些性质,通过研究有限群中极大子群的指数问题,给出有限群G是σ-超可解群的一个充要条件。

关键词:σ-超可解群;极大子群;完备Hallσ-集

在群类理论中,关于超可解群一个重要的性质是:群G 是超可解的当且仅当G 的每个极大子群在G中指数都是素数[1]。应用σ-群理论给出了σ-超可解群的概念:称群Gσ-超可解的[2],如果G 的包含于的主因子都是循环的(其中Nσ表示所有σ-幂零群构成的群类见文献[3])。因此很自然地,将上述超可解群的结论推广到σ-超可解群,给出σ-超可解群中极大子群指数的特征。

σ={σi|iI} 是所有素数集合P 的一个划分,符号∏表示σ 的任一非空子集。如果则称n是一个∏-数,记σ(n)={σi|σi ⋂π(n)≠φ} 。假 定G是一个群,通常记∑(G)= σ(| G|)。如果G=1 或|σ(G)=1|,则称Gσ-本原的;如果G的每个主因子都是σ-本原的,则称Gσ-可解群;如果对于G 的每个主因子H/K 满足H/K ⋊(G/CG(H/K))都是σ-本原的,则称Gσ-幂零群。设HG 的子群,如果|H|是一个∏-数,则称HG 的∏-子群;如果HG 的一个∏-子群且|GH|是一个∏′-数,则称HG 的Hall∏-子群。设H 是群G 的子群集满足1 ∈H,如果对于某个σi ∈∏,H 中的每个元素都是G 的一个Hallσ-子群,并且对于每一个σi ∈∏⋂σ(G),H 包含且只包含G的一个Hallσ-子群,则称HG 的完备Hall∏-集。特别地,如果∏= σ,则称HG 的一个完备Hallσ-集。关于σ-群理论中相关的概念和符号可参见文献[3-5]。另外,用符号NσUUσ 来表示所有σ-幂零群,所有超可解群和所有σ-超可解群所构成的群类。

1 准备知识

引理1 群类GσNσ 都是子群闭的饱和群系,并且σ-可解群关于σ-可解群的扩张仍是σ-可解群[3]

引理2 所有σ-超可解群构成的群类Uσ 是子群闭的群系[2]

引理3 Gσ-超可解群当且仅当下面的条件成立:

(1)是幂零的;(2)G′是σ-幂零的;(3)

引理4Gσ-幂零群当且仅当G有完备Hallσ-集H={H1,H2,…,Ht} 满足

引理5G是一个σ-超可解群,NG的正规子群,那么

(1)G/Nσ-超可解群;

(2)如果对于某个σiσ(G)我们有σi ⋂π(G)={ p},则Gp-超可解群[2]

引理6A=,那么Gp-超可解群,当且仅当是方次数整除p-1的交换群,p是|A|的最大素因子且F(A)=Op(A)是A的正规Sylow子群。

2 主要结果

定理H={H1,H2,…,Ht} 是G的完备Hallσ-集,并且每个Hi都是超可解的,那么Gσ-超可解群,当且仅当G的每个极大子群在G中指数都是素数。

证明首先证明定理充分性。假设定理不成立,并对G 用极小阶反例。按照以下步骤完成充分性的证明。

(1)Gσ-可解群。

p 是|G|的最大素因子,PG 的Sylow p-子群。若P 不正规于G,那么存在G 的极大子群M 满足NG(P)≤M。由题意设|GM|= qp,其中q 是一个素数,那么G/MG同构于对称群sq的一个子群,所以q 是|G/MG|的最大素因子,但是q < p,这就迫使PMG,那么由Frattini 论断知G= MGNG(P)≤M,这是不可能的,所以P正规于G。易见G/P满足定理的假设,因此由G 的选择知G/Pσ-超可解群,所以由引理1知Gσ-可解群。

(2)G 有唯一极小正规子群N 满足G/Nσ-超可解,N 是非循环的初等交换p-群并且Op(G)=1,其中p ∈π(H1)。

NG的极小正规子群。易见,={H1N/N,H2N/N,…,HtN/N,}是G/N 的Hallσ-集,其中每个HiN/N 是超可解的。所以由G 的选择知G/Nσ-超可解的。从而由引理2 知NG 的唯一极小正规子群。若N 循环,则显然Gσ-超可解的,这与假设矛盾。所以N 是非循环的。由(1)知,Nσ-本原的,不妨设NH1,因H1 是超可解群,所以N 是初等交 换p -群,其 中p 为|H1|的素因子。显然,Op(G)=1。

(3)Nφ(G)。

假设φ(G)=1。那么由(2)知存在G 的极大子群M 满足假设G= NM。易见,NM 正规于G,所以NM=1,从而|N|=|GM|为一素数,这与(2)矛盾,故φ(G)≠1。从而由(2)知Nφ(G)。

(4) G 有正规的Sylow p-子群P 满足Op(G)=F(G)= P

由(2)(3)和引理3 知,Op(G)= F(G)且 是幂零的,所以由(2)知F(G)≤H1。因σ-幂零的,故的正规子群,从而知H1G的正规子群。设PG 的Sylow p-子群,因H1 超可解,所以P正规于G,即Op(G)= F(G)= P

(5)得出矛盾。

因为PG的正规的Sylowp-子群,所以可以设UV分别是PGH1中的可补子群且满足VU。因为Op(G)≤P,所以UG/Pσ-幂零群,从而由引理4知U=V×H2×H3×…×Ht。因H1是超可解的,所以V是方次数整除p-1的交换群。现考虑群PHi/N,其中i=2,3,…,t。由(2)知对于每一个iPHi/Nσ-超可解群,所以由引理5知PHi/Np-超可解群,因Nφ(G),从而知PHip-超可解群。因为G/Pσ-幂零的,故由引理4知PHi/P正规于G/P,从而得PHi正规于G,因此Op(G)=1,那么由引理6知Hi是方次数整除p-1的交换群,由此得U是方次数整除p-1的交换群,那么再由引理6知G是超可解群,这与假设矛盾。从而定理的充分性得证。

必要性:若=1,那么Gσ-幂零的,从而G= H1 × H2 × …× Ht,因为每个Hi都是超可解群,所以G 超可解。因此G 的每个极大子群在G 中指数都是素数。现假定 ≠1,并设MG 的任一极大子群。如果MG ≠1,易见G/MG 满足定理1 的假设。对|G|进行归纳知|GM|=|G/MGM/MG|是一个素数。考虑MG=1 的情况。设N 是的G 极小正规子群满足N。因为Gσ-超可解的,所以|N|= p,其中p 为|G|的素因子。显然,G/N 满足定理的假设。若NM,则|GM|=|G/NM/N|为一素数。若NM,则G= NM,并因此有|GM|=|N|= p。定理得证。

3 结语

利用σ-群理论中Hall 子群和σ-超可解群的性质给出了σ-超可解群中极大子群指数的特征,这一特征与超可解群中极大子群的情形类似,这说明将超可解群推广到σ-超可解群后,其中一部分性质是保持不变的,这就为进一步探讨超可解群中的其他性质在σ-超可解群中是否不变提供了思路.另外,这一结论还对研究σ-超可解群中子群的置换性、嵌入性以及极大子群的相关性质有一定的意义,并对进一步探讨σ-可解群的结构提供了新的研究方法和途径。

参考文献

[1]徐明耀,黄建华.有限群引导(下册)[M].北京:科学出版社,2001.

[2]GUO W B,ZHANG CH,SKIBA ALEXANDER N.On σ-supersoluble groups and one generalizaition of CLT-groups [J].J ALGEBRA,2018,512:92-108.

[3]SKIBA ALEXANDER N.On σ-subnormal and σ-permutable subgroups finite groups [J].J ALGEBRA,2015,436:1-16.

[4]SKIBA ALEXANDER N.On some results in the theory of finite partially soluble groups [J].COMM MATH STAT,2016,4(3):281-309.

[5]SKIBA ALEXANDER N.A generalizer of a Hall theorem [J].J Algebra and Its Application,2016,15(4):13.

A Property of Maximal Subgroups of σ-supersoluble Groups

MA Xiao-jian,MAO Yue-mei
(Institute of Quantum Information,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Abstract:In this paper,we study the index problem of maximal subgroups of σ-supersolvable groups.Applying group theory and some properties of σ-supersoluble groups,we study the index of maximal subgroups of finite groups and give a necessary and sufficient condition which a finite group is σ-supersoluble.

Key words:σ-supersoluble group;maximal subgroups;complete Hall σ-set

中图分类号:O152.1

文献标识码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-0874.2021.04.007

文章编号:1674-0874(2021)04-0019-03

收稿日期:2021-03-16

基金项目:大同市科技局应用基础研究计划项目[2019156];山西大同大学校级科学研究项目[2019K4]

作者简介:马小箭(1979-),山西保德人,硕士,副教授,研究方向:生物数学。

〔责任编辑 高海〕